Математическая наука в учебном заведении
Мы можем иногда перевести иностранный текст без словаря, хотя он содержит незнакомые слова, исходя из смысла остальных, знакомых слов, содержащихся в нем. Этим самым мы обогащаем свой запас слов. Но если в новом тексте слишком мало знакомых слов и слишком много новых, может оказаться затруднительным или невозможным сделать (без словаря) перевод всего текста. Совершенно очевидно, что олимпиада по английскому языку и чтение текстов, в которых все слова уже ранее знакомы, не пополняет запаса слов. Чтение же текстов, в которых имеются и незнакомые слова, способствуют изучению языка. Чтобы определить, сможет ли ученик перевести текст без словаря, надо знать, какие слова в этом тексте уже знакомы ему и можно ли, исходя из контекста, узнать (без словаря) значение остальных, незнакомых слов.
Чтобы определить, сможет ли ученик осуществить некоторую математическую деятельность и в чем должна состоять помощь сайта учителя математики, надо знать, какие из логических структур, лежащих в основе этой деятельности, уже образованы у него, т. е. каковы уровень мышления ученика и уровень математической деятельности, которой мы хотим его обучать.
Сопоставление этих уровней поможет определить, какая помощь учителя нужна, чтобы поднять уровень ученика до уровня предлагаемой математической деятельности, или же покажет, что различие уровней слишком велико и на данном этапе обучения должен быть снижен уровень предлагаемой математической деятельности.
Разумеется, выяснить, какие слова нового текста знакомы ученику, какие нет, можно без особого труда. Выяснить же уровень мышления ученика не так просто. Можно попытаться использовать тесты по математике. Ученик не может рассказать, как он мыслит, не может назвать логические операции, которые умеет выполнять. Это можно выяснить, лишь анализируя его мыслительную деятельность в процессе обучения или же с помощью специальной системы вопросов
Математическая деятельность расчленяется на три стадии математическая организация эмпирического материала, 2) логическая форма математического материала, 3) приложения теории. С помощью более тонкого анализа выделяют четыре стадии математической деятельности. Следует отметить, что все стадии состоят из различного рода мыслительных процессов, не сводящихся к одним формальным, дедуктивным выводам.
Дедуктивные рассуждения обеспечивают в основном лишь вторую стадию. На первой широко применяются обобщение и абстрагирование, рассуждения по индукции и аналогии, на третьей — ограничение и конкретизация в связи с переходом от абстрактной теории к ее конкретным моделям, где эта теория находит приложения.
Обычно, когда говорят о математическом мышлении, имеют в виду дедуктивное мышление. Такое отождествление математического мышления с дедуктивным отражает ошибочное мнение о том, что к собственно математике относятся только дедуктивная теория, а первая и третья стадии якобы находятся вне области математики. В действительности первая и третья стадии не менее важны, чем вторая, как в научном исследовании дистанционных конкурсов, так и особенно в обучении.
В связи с этим, большой интерес представляет высказывание известного французского математика Г. Шоке. Указывая, что. во всякой математической деятельности распознают четыре стадии (дедукция, наблюдение, математизация, приложения), он отмечает, что «преподавание, которое ведется чисто дедуктивно (т. е. учитывает только одну из четырех стадий — дедукцию), является бесплодным и калечащим. Это — необходимые этапы, позволяющие мозгу образовывать новые структуры и переходить от одного уровня мышления к другому».
